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id: 59880443fb36441083c6c20e
title: 欧拉方法
challengeType: 1
forumTopicId: 302258
dashedName: euler-method
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# --description--
Euler's method numerically approximates solutions of first-order ordinary differential equations (ODEs) with a given initial value. It is an explicit method for solving initial value problems (IVPs), as described in this article.
ODE 必须以下列形式提供：
- $\frac{dy(t)}{dt} = f(t,y(t))$
有初始值
为了得到数值解，我们用有限差分近似替换 LHS 上的导数：
- $\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$
然后求解 $y(t+h)$：
- $y(t+h) \approx y(t) + h \, \frac{dy(t)}{dt}$
这与下述相同
- $y(t+h) \approx y(t) + h \, f(t,y(t))$
那么迭代求解规则是：
- $y_{n+1} = y_n + h \, f(t_n, y_n)$
其中 $h$ 是步长，与解的准确性最相关的参数。 较小的步长会提高准确性，但也会增加计算成本，因此必须始终根据手头的问题手动选择。
**示例：牛顿冷却定律**
牛顿冷却定律描述了初始温度为 $T(t_0) = T_0$ 的物体如何在温度为 $T_R$ 的环境中冷却：
- $\frac{dT(t)}{dt} = -k \, \Delta T$
或者
- $\frac{dT(t)}{dt} = -k \, (T(t) - T_R)$
它表示物体的冷却速率 $\\frac{dT(t)}{dt}$ 与当前与周围环境的温差 $\\Delta T = (T(t) - T_R)$ 成正比。
我们将与数值近似进行比较的解析解是
- $T(t) = T_R + (T_0 - T_R) \; e^{-k t}$
# --instructions--
实现欧拉方法的一个例程，然后使用它来解决三个不同步长的牛顿冷却定律的给定示例：
并与解析解进行比较。
**初始值：**
- initial temperature $T_0$ shall be
100 °C
- 室温 $T_R$ 应为
20 °C
- 冷却常数 $k$ 应为
0.07
- 计算时间间隔为
0 s 到 100 s
该函数的第一个参数是初始时间，第二个参数是初始温度，第三个参数是经过时间，第四个参数是步长。
# --hints--
`eulersMethod` 应该是一个函数。
```js
assert(typeof eulersMethod === 'function');
```
`eulersMethod(0, 100, 100, 2)` 应该返回一个数字。
```js
assert(typeof eulersMethod(0, 100, 100, 2) === 'number');
```
`eulersMethod(0, 100, 100, 2)` 应该返回 20.0424631833732。
```js
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 2), 20.0424631833732);
```
`eulersMethod(0, 100, 100, 5)` 应该返回 20.01449963666907。
```js
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 5), 20.01449963666907);
```
`eulersMethod(0, 100, 100, 10)` 应该返回 20.000472392。
```js
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 10), 20.000472392);
```
# --seed--
## --seed-contents--
```js
function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
}
```
# --solutions--
```js
function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
let x = x1;
let y = y1;
while ((x < x2 && x1 < x2) || (x > x2 && x1 > x2)) {
y += h * (-0.07 * (y - 20));
x += h;
}
return y;
}
```