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|---|---|---|---|---|
| 5900f3d21000cf542c50fee4 | Problem 101: Optimales Polynom | 1 | 301725 | problem-101-optimum-polynomial |
--description--
Wenn wir die ersten k Terme einer Folge erhalten, ist es unmöglich, den Wert des nächsten Terms mit Sicherheit zu bestimmen, da es unendlich viele Polynomfunktionen gibt, die die Folge modellieren können.
Betrachten wir als Beispiel die Folge von Würfelzahlen. Diese ist definiert durch die generierende Funktion u_n = n^3: 1, 8, 27, 64, 125, 216, \ldots
Nehmen wir an, wir hätten nur die ersten beiden Terme dieser Folge. Nach dem Prinzip "einfach ist am besten" sollten wir eine lineare Beziehung annehmen und den nächsten Term auf 15 (gemeinsame Differenz 7) vorhersagen. Selbst wenn wir die ersten drei Terme hätten, müsste nach demselben Prinzip der Einfachheit eine quadratische Beziehung angenommen werden.
Wir definieren OP(k, n) als den $n^{th}$-Term der optimalen polynomialen generierenden Funktion für die ersten k Terme einer Folge. Es sollte klar sein, dass OP(k, n) die Terme der Sequenz für n ≤ k genau erzeugt, und dass der erste falsche Term (FIT) möglicherweise OP(k, k+1) ist; in diesem Fall nennen wir ihn einen schlechten OP (BOP).
Als Grundlage wäre es am sinnvollsten, wenn man nur den ersten Term der Folge als konstant annimmt, d. h. für n ≥ 2, OP(1, n) = u_1.
Daraus ergeben sich die folgenden OPs für die kubische Folge:
$$\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\ OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\ OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
Offensichtlich gibt es keine BOPs für k ≥ 4. Betrachtet man die Summe der von den BOPs erzeugten FITs (oben in \color{red}{red} angegeben), erhält man 1 + 15 + 58 = 74. Betrachte die folgende polynomiale generierende Funktion zehnten Grades:
u_n = 1 − n + n^2 − n^3 + n^4 − n^5 + n^6 − n^7 + n^8 − n^9 + n^{10}
Ermittle die Summe der FITs für die BOPs.
--hints--
optimumPolynomial() sollte 37076114526 zurückgeben.
assert.strictEqual(optimumPolynomial(), 37076114526);
--seed--
--seed-contents--
function optimumPolynomial() {
return true;
}
optimumPolynomial();
--solutions--
// solution required