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|---|---|---|---|---|
| 5900f4ab1000cf542c50ffbd | Problem 318: 2011 Neunen | 1 | 301974 | problem-318-2011-nines |
--description--
Betrachte die reelle Zahl \sqrt{2} + \sqrt{3}.
Wenn wir die gleichen Kräfte von \sqrt{2} + \sqrt{3} berechnen, erhalten wir:
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\ \end{align}$$
Es sieht so aus, als ob die Anzahl der aufeinanderfolgenden Neunen am Anfang des gebrochenen Teils dieser Potenzen nicht abnehmend ist. Tatsächlich kann nachgewiesen werden, dass für große n der Bruchteil von {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n} sich 1 nähert.
Betrachte alle realen Zahlen der Form \sqrt{p} + \sqrt{q} mit p und q positiven Integern und p < q so, dass der Bruchteil von {(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n} sich 1 annähert für große n.
Lasse C(p,q,n) die Anzahl der aufeinanderfolgenden Neunen am Anfang des Bruchteils von {(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n} sein.
Lasse N(p,q) der minimale Wert von n sein, sodass C(p,q,n) ≥ 2011 ist.
Finde \sum N(p,q) für p + q ≤ 2011.
--hints--
twoThousandElevenNines() sollte 709313889 zurückgeben.
assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
--seed--
--seed-contents--
function twoThousandElevenNines() {
return true;
}
twoThousandElevenNines();
--solutions--
// solution required