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id: 5900f54c1000cf542c51005e
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title: 'Problem 478: Mischungen'
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challengeType: 1
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forumTopicId: 302155
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dashedName: problem-478-mixtures
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# --description--
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Wir betrachten Gemische aus drei Stoffen: $A$, $B$ und $C$. Ein Gemisch kann durch ein Verhältnis der Mengen von $A$, $B$ und $C$ zusammengesetzt werden, d. h. $(a : b : c)$. Ein Gemisch, das durch das Verhältnis (2 : 3 : 5) beschrieben wird, enthält beispielsweise 20% $A$, 30% $B$ und 50% $C$.
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Für diesen Zweck können wir die einzelnen Bestandteile eines Gemischs nicht trennen. Wir können jedoch unterschiedliche Mengen verschiedener Gemische kombinieren, um Gemische mit neuen Verhältnissen zu bilden.
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Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben drei Gemische mit den Verhältnissen (3 : 0 : 2), (3 : 6 : 11) und (3 : 3 : 4). Wenn man 10 Einheiten des ersten, 20 Einheiten des zweiten und 30 Einheiten des dritten Stoffes mischt, erhält man eine neue Mischung im Verhältnis (6 : 5 : 9), denn: ($10 \times \frac{3}{5} + 20 \times \frac{3}{20} + 30 \times \frac{3}{10}$ : $10 \times \frac{0}{5} + 20 \times \frac{6}{20} + 30 \times \frac{3}{10}$ : $10 \times \frac{2}{5} + 20 \times \frac{11}{20} + 30 \times \frac{4}{10}$) = (18 : 15 : 27) = (6 : 5 : 9)
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Mit denselben drei Gemischen ist es jedoch unmöglich, das Verhältnis (3 : 2 : 1) zu bilden, da die Menge von $B$ immer kleiner ist als die Menge von $C$.
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Lasse $n$ eine positive ganze Zahl sein. Angenommen, für jedes Tripel der Integer $(a, b, c)$ mit $0 ≤ a, b, c ≤ n$ und $gcd(a, b, c) = 1$ gibt es eine Mischung mit dem Verhältnis $(a : b : c)$. Lasse $M(n)$ die Menge aller solcher Mischungen sein.
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Zum Beispiel enthält $M(2)$ die 19 Gemische mit den folgenden Verhältnissen:
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{(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (0 : 1 : 1), (0 : 1 : 2), (0 : 2 : 1), (1 : 0 : 0), (1 : 0 : 1), (1 : 0 : 2), (1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1), (1 : 1 : 2), (1 : 2 : 0), (1 : 2 : 1), (1 : 2 : 2), (2 : 0 : 1), (2 : 1 : 0), (2 : 1 : 1), (2 : 1 : 2), (2 : 2 : 1)}.
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Lasse $E(n)$ die Anzahl der Teilmengen von $M(n)$ sein, die das Gemisch mit dem Verhältnis (1 : 1 : 1), d.h. das Gemisch mit gleichen Anteilen $A$, $B$ und $C$, ergeben können.
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Wir können überprüfen, dass $E(1) = 103$, $E(2) = 520\\,447$, $E(10)\bmod {11}^8 = 82\\,608\\,406$ und $E(500)\bmod {11}^8 = 13\\,801\\,403$.
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Finde $E(10\\,000\\,000)\bmod {11}^8$.
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# --hints--
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`mixtures()` sollte `59510340` zurückgeben.
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assert.strictEqual(mixtures(), 59510340);
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function mixtures() {
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return true;
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}
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mixtures();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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