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id: 5900f4231000cf542c50ff35
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title: 'Problem 182: RSA encryption'
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challengeType: 1
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forumTopicId: 301818
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dashedName: problem-182-rsa-encryption
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# --description--
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Die RSA-Verschlüsselung basiert auf dem folgenden Verfahren:
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Erzeuge zwei unterschiedlichen Primzahlen `p` und `q`. Berechne `n=p*q` und `φ=(p-1)(q-1)`. Finde eine ganze Zahl `e`, `1 < e < φ`, so wie `gcd(e,φ) = 1`
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Eine Nachricht in diesem System ist eine Zahl im Intervall `[0,n-1]`. Ein zu verschlüsselnder Text wird dann irgendwie in Nachrichten (Zahlen im Intervall `[0,n-1]`) umgewandelt. Um den Text zu verschlüsseln, wird für jede Nachricht `m`, c=m<sup>e</sup> mod n berechnet.
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Um den Text zu entschlüsseln, wird folgende Prozedur benötigt: berechne `d` so dass `ed=1 mod φ` und berechne dann für jede verschlüsselte Nachricht, `c`, m=c<sup>d</sup> mod n.
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Es gibt Werte von `e` und `m`, so dass m<sup>e</sup> mod n = m. We call messages `m` for which m<sup>e</sup> mod n=m unconcealed messages.
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Ein Problem bei der Wahl von `e` ist, dass es nicht zu viele unverschlüsselte Nachrichten geben sollte. Lasse zum Beispiel `p=19` und `q=37`. Danach `n=19*37=703` und `φ=18*36=648`. If we choose `e=181`, then, although `gcd(181,648)=1` it turns out that all possible messages m `(0≤m≤n-1)` are unconcealed when calculating m<sup>e</sup> mod n. Für jede gültige Wahl von `e` gibt es einige unverschlüsselte Nachrichten. Es ist wichtig, dass die Anzahl an unverschlüsselten Nachrichten auf ein Minimum beschränkt ist.
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For any given `p` and `q`, find the sum of all values of `e`, `1 < e < φ(p,q)` and `gcd(e,φ)=1`, so that the number of unconcealed messages for this value of `e` is at a minimum.
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# --hints--
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`RSAEncryption` sollte eine Funktion sein.
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```js
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assert(typeof RSAEncryption === 'function')
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```
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`RSAEncryption` sollte eine Zahl zurückgeben.
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```js
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assert.strictEqual(typeof RSAEncryption(19, 37), 'number');
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```
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`RSAEncryption(19, 37)` sollte `17766` zurückgeben.
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```js
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assert.strictEqual(RSAEncryption(19, 37), 17766);
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```
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`RSAEncryption(283, 409)` sollte `466196580` zurückgeben.
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```js
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assert.strictEqual(RSAEncryption(283, 409), 466196580);
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```
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`RSAEncryption(1009, 3643)` sollte `399788195976` zurückgeben.
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```js
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assert.strictEqual(RSAEncryption(19, 37), 17766);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function RSAEncryption(p, q) {
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return true;
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}
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RSAEncryption(19, 37);
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```
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# --solutions--
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```js
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function gcd(a, b) {
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if (b)
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return gcd(b, a % b);
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else
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return a;
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}
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function RSAEncryption(p, q) {
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let phi = (p - 1) * (q - 1);
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let best = Number.MAX_SAFE_INTEGER;
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let sum = 0;
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for (let e = 0; e < phi; ++e) {
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if (!(gcd(e, phi) == 1))
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continue;
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let msg = (gcd(p - 1, e - 1) + 1) * (gcd(q - 1, e - 1) + 1);
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if (best == msg) {
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sum += e;
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} else if (best > msg) {
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best = msg;
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sum = e;
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}
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}
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return sum;
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}
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```
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