mirror of
https://github.com/freeCodeCamp/freeCodeCamp.git
synced 2026-04-12 01:00:13 -04:00
7a0d396180
Co-authored-by: Naomi Carrigan <nhcarrigan@gmail.com> Co-authored-by: Oliver Eyton-Williams <ojeytonwilliams@gmail.com>
153 lines
5.3 KiB
Markdown
153 lines
5.3 KiB
Markdown
---
|
||
id: 59880443fb36441083c6c20e
|
||
title: Метод Ейлера
|
||
challengeType: 1
|
||
forumTopicId: 302258
|
||
dashedName: euler-method
|
||
---
|
||
|
||
# --description--
|
||
|
||
Метод Ейлера надає приблизний розв’язок звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з заданим початковим значенням. Це явний метод розв’язку задачі Коші, як описано <a href="https://www.freecodecamp.org/news/eulers-method-explained-with-examples/" title="Euler's Method Explained with Examples" target="_blank" rel="noopener noreferrer nofollow">в цій статті</a>.
|
||
|
||
Звичайні диференціальні рівняння задані в такому форматі:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$\frac{dy(t)}{dt} = f(t,y(t))$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
з початковим значенням
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$y(t_0) = y_0$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
Щоб отримати числовий розв’язок, замінимо похідну зліва на скінченнорізницеве наближення:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
потім знайдемо $y(t+h)$:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$y(t+h) \approx y(t) + h \, \frac{dy(t)}{dt}$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
що є тим самим, як і
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$y(t+h) \approx y(t) + h \, f(t,y(t))$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
Тоді правило ітеративного розв’язку:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$y_{n+1} = y_n + h \, f(t_n, y_n)$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
де $h$ є розміром кроку — найважливішим параметром для точності розв’язку. Менший розміру кроку збільшує точність, але також і витрати обчислень, тому його завжди потрібно вибирати відповідно до конкретної задачі.
|
||
|
||
**Приклад: закон Ньютона про охолодження**
|
||
|
||
Закон Ньютона про охолодження описує, як об’єкт з початковою температурою $T(t_0) = T_0$ охолоджується за температури $T_R$:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$\frac{dT(t)}{dt} = -k \, \Delta T$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
або
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$\frac{dT(t)}{dt} = -k \, (T(t) - T_R)$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
Це означає, що швидкість охолодження об’єкта $\\frac{dT(t)}{dt}$ пропорційна поточній різниці температур між об’єктом та навколишнім середовищем $\\Delta T = (T(t) - T_R)$.
|
||
|
||
Ось аналітичний розв’язок, який ми порівняємо з числовим наближенням:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$T(t) = T_R + (T_0 - T_R) \; e^{-k t}$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
# --instructions--
|
||
|
||
Реалізуйте процедуру методу Ейлера, а потім використайте його, щоб розв’язати закон Ньютона про охолодження з трьома різними розмірами кроку:
|
||
|
||
<ul>
|
||
<li><code>2 s</code></li>
|
||
<li><code>5 s</code></li>
|
||
<li><code>10 s</code></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
та порівняйте з аналітичним розв’язком.
|
||
|
||
**Початкові значення:**
|
||
|
||
<ul>
|
||
<li>початкова температура <big>$T_0$</big> дорівнює <code>100 °C</code></li>
|
||
<li>кімнатна температура <big>$T_R$</big> дорівнює <code>20 °C</code></li>
|
||
<li>константа охолодження <big>$k$</big> дорівнює <code>0.07</code></li>
|
||
<li>часовий інтервал для обчислення дорівнює від <code>0 s</code> до <code>100 s</code></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
Перший параметр функції — початковий час, другий параметр — початкова температура, третій параметр — пройдений час, а четвертий параметр — розмір кроку.
|
||
|
||
# --hints--
|
||
|
||
`eulersMethod` має бути функцією.
|
||
|
||
```js
|
||
assert(typeof eulersMethod === 'function');
|
||
```
|
||
|
||
`eulersMethod(0, 100, 100, 2)` має повернути число.
|
||
|
||
```js
|
||
assert(typeof eulersMethod(0, 100, 100, 2) === 'number');
|
||
```
|
||
|
||
`eulersMethod(0, 100, 100, 2)` має повернути `20.0424631833732`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 2), 20.0424631833732);
|
||
```
|
||
|
||
`eulersMethod(0, 100, 100, 5)` має повернути `20.01449963666907`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 5), 20.01449963666907);
|
||
```
|
||
|
||
`eulersMethod(0, 100, 100, 10)` має повернути `20.000472392`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 10), 20.000472392);
|
||
```
|
||
|
||
# --seed--
|
||
|
||
## --seed-contents--
|
||
|
||
```js
|
||
function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
|
||
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
# --solutions--
|
||
|
||
```js
|
||
function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
|
||
let x = x1;
|
||
let y = y1;
|
||
|
||
while ((x < x2 && x1 < x2) || (x > x2 && x1 > x2)) {
|
||
y += h * (-0.07 * (y - 20));
|
||
x += h;
|
||
}
|
||
|
||
return y;
|
||
}
|
||
```
|