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59880443fb36441083c6c20e	欧拉方法	1	302258	euler-method

--description--

Euler's method numerically approximates solutions of first-order ordinary differential equations (ODEs) with a given initial value. It is an explicit method for solving initial value problems (IVPs), as described in this article.

ODE 必须以下列形式提供：

• $\frac{dy(t)}{dt} = f(t,y(t))$

有初始值

• $y(t_0) = y_0$

为了得到数值解，我们用有限差分近似替换 LHS 上的导数：

• $\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$

然后求解 $y(t+h)$：

• $y(t+h) \approx y(t) + h \, \frac{dy(t)}{dt}$

这与下述相同

• $y(t+h) \approx y(t) + h \, f(t,y(t))$

那么迭代求解规则是：

• $y_{n+1} = y_n + h \, f(t_n, y_n)$

其中 h 是步长，与解的准确性最相关的参数。 较小的步长会提高准确性，但也会增加计算成本，因此必须始终根据手头的问题手动选择。

示例：牛顿冷却定律

牛顿冷却定律描述了初始温度为 T(t_0) = T_0 的物体如何在温度为 T_R 的环境中冷却：

• $\frac{dT(t)}{dt} = -k \, \Delta T$

或者

• $\frac{dT(t)}{dt} = -k \, (T(t) - T_R)$

它表示物体的冷却速率 \\frac{dT(t)}{dt} 与当前与周围环境的温差 \\Delta T = (T(t) - T_R) 成正比。

我们将与数值近似进行比较的解析解是

• $T(t) = T_R + (T_0 - T_R) \; e^{-k t}$

--instructions--

实现欧拉方法的一个例程，然后使用它来解决三个不同步长的牛顿冷却定律的给定示例：

• 2 s
• 5 s 和
• 10 s

并与解析解进行比较。

初始值：

• initial temperature $T_0$ shall be 100 °C
• 室温 $T_R$ 应为 20 °C
• 冷却常数 $k$ 应为 0.07
• 计算时间间隔为 0 s 到 100 s

该函数的第一个参数是初始时间，第二个参数是初始温度，第三个参数是经过时间，第四个参数是步长。

--hints--

eulersMethod 应该是一个函数。

assert(typeof eulersMethod === 'function');

eulersMethod(0, 100, 100, 2) 应该返回一个数字。

assert(typeof eulersMethod(0, 100, 100, 2) === 'number');

eulersMethod(0, 100, 100, 2) 应该返回 20.0424631833732。

assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 2), 20.0424631833732);

eulersMethod(0, 100, 100, 5) 应该返回 20.01449963666907。

assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 5), 20.01449963666907);

eulersMethod(0, 100, 100, 10) 应该返回 20.000472392。

assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 10), 20.000472392);

--seed--

--seed-contents--

function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {

}

--solutions--

function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
  let x = x1;
  let y = y1;

  while ((x < x2 && x1 < x2) || (x > x2 && x1 > x2)) {
    y += h * (-0.07 * (y - 20));
    x += h;
  }

  return y;
}